Năm 1981, Velchev tốt nghiệp trường trung học tiếng Anh ở Sofia. Sau đó, anh được ghi danh là một sinh viên tại khoa luật của Đại học Sofia, kiếm được quyền hành nghề luật vào năm 1990.[3]

Kể từ ngày 1 tháng 11 năm 2012, Velchev là thẩm phán tại Tòa án Hiến pháp Bulgaria.[4]

Ngoài tiếng Bulgaria bản xứ, Velchev còn nói tiếng Anh và tiếng Nga. Sở thích của ông bao gồm nghiên cứu về lịch sử và số học.[1][3]